1.精选高一数学知识点:函数的对称性

2.[紧急问题]高中数学:一个三次函数是中心对称图形.但它导数的判别式<0,这样还怎么求他的对称中心啊?别跟...

3.高考数学圆的知识点归纳

4.高考数学必考题型及答题技巧是什么

5.函数的对称性函数对称性的探究

6.阿波罗尼斯圆在高考中的应用

中心对称高考_中心对称高中

之前也见过类似问题。其实都是涉及函数性质的问题。f(X)关于X=-1对称,所以在X>0上的图像与在X<-2的图像对称,即f(-1+1+X)=f[-1-(1+X)],即f(X)=f(-2-X)。同理,关于点(1,0)成中心对称,即在X<0上的图像为在X>2上的图像旋转180°所得,即f[1+(X-1)]=-f[1-(X-1)]即f(X)=-f(2-X),代入X+4得f(X+4)=-f(-2-X),等量代换得f(X+4)=-f(X)。再代入X+4得f(X+8)=-f(X+4)=f(X)。表明f(X)左移8个单位等于f(X),即周期为8。

精选高一数学知识点:函数的对称性

一、对称轴基本表达:f(x)=f(-x)为原点对称的偶函数。变化式有:

(1)f(a+x)=f(a-x)

(2)f(x)=f(a-x)

(3)f(-x)=f(b+x)

(4)f(a+x)=f(b-x)

二、对称中心基本表达式:f(x)+f(-x)=0为原点中心对称的奇函数。

三、周期函数基本表达式:f(x)=f(x+t)变化式有:f(x+a)=f(x+b)。

扩展资料:

周期函数的性质共分以下几个类型:

(1)若T(≠0)是f(x)的周期,则-T也是f(x)的周期。

(2)若T(≠0)是f(x)的周期,则nT(n为任意非零整数)也是f(x)的周期。

(3)若T1与T2都是f(x)的周期,则T1±T2也是f(x)的周期。

(4)若f(x)有最小正周期T*,那么f(x)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

(5)若T1、T2是f(x)的两个周期,且T1/T2是无理数,则f(x)不存在最小正周期。

(6)周期函数f(x)的定义域M必定是至少一方无界的集合。

参考资料:

百度百科——周期函数

参考资料:

百度百科——对称中心

[紧急问题]高中数学:一个三次函数是中心对称图形.但它导数的判别式<0,这样还怎么求他的对称中心啊?别跟...

以下是 为大家整理的关于《精选高一数学知识点:函数的对称性》的文章,供大家学习参考!

一、 函数自身的对称性探究

定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是

f (x) + f (2a-x) = 2b

证明:(必要性)设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点,∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'(2a-x,2b-y)也在y = f (x)图像上,∴ 2b-y = f (2a-x)

即y + f (2a-x)=2b故f (x) + f (2a-x) = 2b,必要性得证。

(充分性)设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点,则y0 = f (x0)

∵ f (x) + f (2a-x) =2b∴f (x0) + f (2a-x0) =2b,即2b-y0 = f (2a-x0) 。

故点P'(2a-x0,2b-y0)也在y = f (x) 图像上,而点P与点P'关于点A (a ,b)对称,充分性得征。

推论:函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (-x) = 0

定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

f (a +x) = f (a-x) 即f (x) = f (2a-x) (证明留给读者)

推论:函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (-x)

定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2 a-b是其一个周期。

②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 (a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2 a-b是其一个周期。

③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且4 a-b是其一个周期。

①②的证明留给读者,以下给出③的证明:

∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称,

∴f (x) + f (2a-x) =2c,用2b-x代x得:

f (2b-x) + f [2a-(2b-x) ] =2c………………(*)

又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称,

∴ f (2b-x) = f (x)代入(*)得:

f (x) = 2c-f [2(a-b) + x]…………(**),用2(a-b)-x代x得

f [2 (a-b)+ x] = 2c-f [4(a-b) + x]代入(**)得:

f (x) = f [4(a-b) + x],故y = f (x)是周期函数,且4 a-b是其一个周期。

二、 不同函数对称性的探究

定理4. 函数y = f (x)与y = 2b-f (2a-x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。

定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a-x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数y = f (x)与a-x = f (a-y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。

③函数y = f (x)与x-a = f (y + a)的图像关于直线x-y = a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者,现证定理5中的③

设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点,则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x-y = a的轴对称点为P'(x1, y1),则x1 = a + y0 , y1 = x0-a ,∴x0 = a + y1 , y0= x1-a 代入y0 = f (x0)之中得x1-a = f (a + y1) ∴点P'(x1, y1)在函数x-a = f (y + a)的图像上。

同理可证:函数x-a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x-y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论:函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

三、 三角函数图像的对称性列表

注:①上表中k∈Z

②y = tan x的所有对称中心坐标应该是(kπ/2 ,0 ),而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册(下)及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案(修订版)中都认为y = tan x的所有对称中心坐标是( kπ, 0 ),这明显是错的。

四、 函数对称性应用举例

例1:定义在R上的非常数函数满足:f (10+x)为偶函数,且f (5-x) = f (5+x),则f (x)一定是( ) (第xx届希望杯高二 第二试题)

(A)是偶函数,也是周期函数 (B)是偶函数,但不是周期函数

(C)是奇函数,也是周期函数 (D)是奇函数,但不是周期函数

解:∵f (10+x)为偶函数,∴f (10+x) = f (10-x).

∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ,因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数, ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴,因此f (x)还是一个偶函数。

故选(A)

例2:设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数,并且f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y = x对称,若g(5) = 1999,那么f(4)=( )。

(A) 1999; (B)2000; (C)2001; (D)2002。

解:∵y = f(x-1)和y = g-1(x-2)函数的图像关于直线y = x对称,

∴y = g-1(x-2) 反函数是y = f(x-1),而y = g-1(x-2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x-1) = 2 + g(x), ∴有f(5-1) = 2 + g(5)=2001

故f(4) = 2001,应选(C)

例3.设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)= f(1-x),当-1≤x≤0时,

f (x) = - x,则f (8.6 ) = _________ (第xx届希望杯高二 第一试题)

解:∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴;

又∵f(1+x)= f(1-x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数,∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (-0.6 ) = 0.3

例4.函数 y = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是( )(92全国高考理) (A) x = - (B) x = - (C) x = (D) x =

解:函数 y = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x + = k +

∴x = - ,显然取k = 1时的对称轴方程是x = - 故选(A)

例5. 设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)= -f(x),当0≤x≤1时,

f (x) = x,则f (7.5 ) = ( )

(A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5

解:∵y = f (x)是定义在R上的奇函数,∴点(0,0)是其对称中心;

又∵f (x+2 )= -f (x) = f (-x),即f (1+ x) = f (1-x), ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴,故y = f (x)是周期为2的周期函数。

∴f (7.5 ) = f (8-0.5 ) = f (-0.5 ) = -f (0.5 ) =-0.5 故选(B)

高考数学圆的知识点归纳

导数的判别式<0,意味着导数要么恒大于0,要么恒小于0

也就是说这个三次函数在R上是单调函数

联想g(x)=x?

易得,满足题意的三次函数只能是f(x)=a(x-h)?+k这种形式,

然后根据其他条件想办法去求参数即可

ps:你给的条件太少,只能得到这么多信息了

祝你开心!希望能帮到你,如果不懂,请追问,祝学习进步!O(∩_∩)O

高考数学必考题型及答题技巧是什么

在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。下面是我为大家整理的关于高考数学圆的知识点归纳,希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习!

目录

圆知识点归纳:圆的定义。

圆知识点归纳:圆的各元素。

圆知识点归纳:圆的基本性质。

圆知识点归纳: 圆的定义。

1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

〈〈〈

圆知识点归纳: 圆的各元素。

1、半径:圆上一点与圆心的连线段。

2、直径:连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦:连接圆上两点线段(直径也是弦)。

4、弧:圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。

(1)劣弧:小于半圆周的弧。

(2)优弧:大于半圆周的弧。

5、圆心角:以圆心为顶点,半径为角的边。

6、圆周角:顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。

7、弦心距:圆心到弦的垂线段的长。

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圆知识点归纳: 圆的基本性质。

1、圆的对称性。

(1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。

(2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。

(3)圆是旋转对称图形。

2、垂径定理。

(1)垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。

(2)推论:

平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

(1)同弧所对的圆周角相等。

(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角,它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等,其余四对量也分别相等。

5、夹在平行线间的两条弧相等。

6、设⊙O的半径为r,OP=d。

7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

(2)不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心是三边中垂线的交点,它到三个点的距离相等。

(直角三角形的外心就是斜边的中点。)

8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离,r表示圆的半径。

直线与圆有两个交点,直线与圆相交;直线与圆只有一个交点,直线与圆相切;

直线与圆没有交点,直线与圆相离。

9、平面直角坐标系中,A(x1,y1)、B(x2,y2)。则AB=

10、圆的切线判定。

(1)d=r时,直线是圆的切线。

切点不明确:画垂直,证半径。

(2)经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。

切点明确:连半径,证垂直。

11、圆的切线的性质(补充)。

(1)经过切点的直径一定垂直于切线。

(2)经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。

12、切线长定理。

(1)切线长:从圆外一点引圆的两条切线,切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切线长。

(2)切线长定理。

∵ PA、PB切⊙O于点 A、B

PA=PB,2。

13、内切圆及有关计算。

(1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等。

(2)如图,△ABC中,AB=5,BC=6,AC=7,⊙O切△ABC三边于点D、E、F。

求:AD、BE、CF的长。

分析:设AD=x,则AD=AF=x,BD=BE=5-x,CE=CF=7-x.

可得方程:5-x+7-x=6,解得x=3

(3)△ABC中,C=90,AC=b,BC=a,AB=c。

求内切圆的半径r。

分析:先证得正方形ODCE,

得CD=CE=r

AD=AF=b-r,BE=BF=a-r

b-r+a-r=c

得r=

(4)S△ABC=

14、(补充)

(1)弦切角:角的顶点在圆周上,角的一边是圆的切线,另一边是圆的弦。

如图,BC切⊙O于点B,AB为弦,ABC叫弦切角,ABC=D。

(2)相交弦定理。

圆的两条弦AB与CD相交于点P,则PAPB=PCPD。

(3)切割线定理。

如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的割线,则PA2=PBPC。

(4)推论:如图,PAB、PCD是⊙O的割线,则PAPB=PCPD。

15、圆与圆的位置关系。

(1)外离:dr1+r2, 交点有0个;

外切:d=r1+r2, 交点有1个;

相交:r1-r2

内切:d=r1-r2, 交点有1个;

内含:0d

(2)性质。

相交两圆的连心线垂直平分公共弦。

相切两圆的连心线必经过切点。

16、圆中有关量的计算。

(1)弧长有L表示,圆心角用n表示,圆的半径用R表示。

L=

(2)扇形的面积用S表示。

S= S=+

(3)圆锥的侧面展开图是扇形。

r为底面圆的半径,a为母线长。

扇形的圆心角=

S侧= ar S全= ar+ r2

〈〈〈

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函数的对称性函数对称性的探究

高中数学是比较难的,想要学好高中数学,必须认真听讲,认真做题,我整理了高考数学必考题型和答题技巧,来看一下!

高考数学必考题型是什么

题型一

运用同三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。

题型二

运用三角函数性质解题,通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中心。

题型三

解三角函数问题、判断三角形形状、正余弦定理的应用。

题型四

数列的通向公式的求法。

高考数学答题技巧有哪些

1、函数或方程或不等式的题目,先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域,其次使用“三合一定理”。

2、如果在方程或是不等式中出现超越式,优先选择数形结合的思想方法;

3、面对含有参数的初等函数来说,在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点,二次函数的对称轴或是……;

4、选择与填空中出现不等式的题目,优选特殊值法;

5、求参数的取值范围,应该建立关于参数的等式或是不等式,用函数的定义域或是值域或是解不等式完成,在对式子变形的过程中,优先选择分离参数的方法;

6、恒成立问题或是它的反面,可以转化为最值问题,注意二次函数的应用,灵活使用闭区间上的最值,分类讨论的思想,分类讨论应该不重复不遗漏;

7、圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成,直线与圆锥曲线相交问题,若与弦的中点有关,选择设而不求点差法,与弦的中点无关,选择韦达定理公式法;使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式;

阿波罗尼斯圆在高考中的应用

函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。

一、函数自身的对称性探究

定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a-x) = 2b

证明:(必要性)设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点,∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘(2a-x,2b-y)也在y = f (x)图像上,∴ 2b-y = f (2a-x)

即y + f (2a-x)=2b故f (x) + f (2a-x) = 2b,必要性得证。

(充分性)设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点,则y0 = f (x0)

∵ f (x) + f (2a-x) =2b∴f (x0) + f (2a-x0) =2b,即2b-y0 = f (2a-x0) 。

故点P‘(2a-x0,2b-y0)也在y=f(x) 图像上,而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称,充分性得征。

推论:函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (-x) = 0定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a-x) 即f (x) = f (2a-x) (证明留给读者)

推论:函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (-x)

定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。

②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 (a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。

③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。

①②的证明留给读者,以下给出③的证明:

∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称,

∴f (x) + f (2a-x) =2c,用2b-x代x得:

f (2b-x) + f [2a-(2b-x) ] =2c………………(*)

又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称,

∴ f (2b-x) = f (x)代入(*)得:

f (x) = 2c-f [2(a-b) + x]…………(**),用2(a-b)-x代x得

f [2 (a-b)+ x] = 2c-f [4(a-b) + x]代入(**)得:

f (x) = f [4(a-b) + x],故y = f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。

二、不同函数对称性的探究

定理4. 函数y = f (x)与y = 2b-f (2a-x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a-x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数y = f (x)与a-x = f (a-y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。

③函数y = f (x)与x-a = f (y + a)的图像关于直线x-y = a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者,现证定理5中的③

设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点,则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x-y = a的轴对称点为P‘(x1, y1),则x1=a+y0 , y1= x0-a,∴x0=a+y1 , y0= x1-a 代入y0 = f (x0)之中得x1-a = f (a + y1)∴点P‘(x1, y1)在函数x-a = f (y + a)的图像上。

同理可证:函数x-a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x-y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。

三、三角函数图像的对称性列表

注:上表中k∈Z

四、函数对称性应用举例

例1:定义在R上的非常数函数满足:f (10+x)为偶函数,且f (5-x) = f (5+x),则f (x)一定是( )

(A)是偶函数,也是周期函数 (B)是偶函数,但不是周期函数

(C)是奇函数,也是周期函数 (D)是奇函数,但不是周期函数

解:∵f (10+x)为偶函数,∴f (10+x) = f (10-x).

∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ,因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数, ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴,因此f (x)还是一个偶函数。

故选(A)

例2:设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数,并且f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y = x对称,若g(5) = 1999,那么f(4)=( )。

(A) 1999; (B)2000; (C)2001; (D)2002。

推论:函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

解:∵y = f(x-1)和y = g-1(x-2)函数的图像关于直线y = x对称,

∴y = g-1(x-2) 反函数是y = f(x-1),而y = g-1(x-2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x-1) = 2 + g(x), ∴有f(5-1) = 2 + g(5)=2001

故f(4) = 2001,应选(C)

阿波罗尼斯圆在高考中的应用

圆是作为轴对称与中心对称的几何图形,有其特殊性质与特定解题方法.是高中需要掌握的内容.圆时常出现在高考试题之中,更是各地质检题中的常客.

《中国高考评价体系》提出一核四层四翼的评价体系,其中四层即“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”,是素质教育目标在高考中的提炼,回答“考什么”的问题.尽管阿波罗尼斯圆在教材中未明确提出,只是在课本习题中出现过求曲线方程,但由于阿波罗尼斯圆涉及到平面上点的距离,三角形角平分线的性质,属于必备知识,因此需要进行适度拓展学习,以便提高我们解决问题的关键能力,提升我们的学科素养。