基本不等式高考难题,基本不等式高考

柯西不等式可以简单地记做：平方和的积

≥

积的和的平方。它是对两列数不等式。取等号的条件是两列数对应成比例。

如：两列数

0，1

和

2，3

有

(0^2

+

1^2)

*

(2^2

+

3^2)

=

26

≥

(0*2

+

1*3)^2

=

9.

形式比较简单的证明方法就是构造一个辅助函数，这个辅助函数是二次函数，于是用二次函数取值条件就得到cauchy不等式。

还有一种形式比较麻烦的，但确实很容易想到的证法，就是完全把cauchy不等式右边-左边的式子展开，化成一组平方和的形式。

我这里只给出前一种证法。

cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,

bi，则有

(∑ai^2)

*

(∑bi^2)

≥

(∑ai

*

bi)^2.

我们令

f(x)

=

∑(ai

+

x

*

bi)^2

=

(∑bi^2)

*

x^2

+

2

*

(∑ai

*

bi)

*

x

+

(∑ai^2)

则我们知道恒有

f(x)

≥

0.

用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有

δ

=

4

*

(∑ai

*

bi)^2

-

4

*

(∑ai^2)

*

(∑bi^2)

≤

0.

于是移项得到结论。

学了更多的数学以后就知道，这个不等式可以推广到一般的内积空间中，那时证明的书写会更简洁一些。我们现在的证明只是其中的一个特例罢了。

其实，高中只要记住二维的就够了。