数学三角函数高考题及答案_数学三角函数高考题

1.帮忙讲解一些三角函数问题

数学高考六道大题题型为：三角函数，概率，立体几何，函数，数列，解析几何。三角函数，概率，立体几何相对较容易。函数，数列，解析几何类经常做压轴题，相对较难。

一、三角函数题

注意归一公式、诱导公式的正确性。转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式（奇变、偶不变，符号看象限）时，很容易因为粗心，导致错误。

二、数列题

1、证明一个数列是等差数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差的等差数列。

2、证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单（所以要有构造函数的意识）。

三、立体几何题

求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系。

四、圆锥曲线问题

注意求轨迹方程时，从三种曲线（椭圆、双曲线、抛物线）着想，椭圆考得最多，方法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法。

帮忙讲解一些三角函数问题

　高考数学所运用的公式多且难记，为了帮助同学们在学习上浪费不必要的时间，我在这里为同学们整理出三角函数的公式和口诀，方便同学们更加容易去理解与牢记公式。

　 公式一：

　设?为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

　sin(2k?+?)=sin? (k?Z)

　cos(2k?+?)=cos? (k?Z)

　tan(2k?+?)=tan? (k?Z)

　cot(2k?+?)=cot? (k?Z)

　 公式二：

　设?为任意角，?+?的三角函数值与?的三角函数值之间的关系：

　sin(?+?)=-sin?

　cos(?+?)=-cos?

　tan(?+?)=tan?

　cot(?+?)=cot?

　 公式三：

　任意角?与 -?的三角函数值之间的关系：

　sin(-?)=-sin?

　cos(-?)=cos?

　tan(-?)=-tan?

　cot(-?)=-cot?

　 公式四：

　利用公式二和公式三可以得到?-?与?的三角函数值之间的关系：

　sin(?-?)=sin?

　cos(?-?)=-cos?

　tan(?-?)=-tan?

　cot(?-?)=-cot?

　 公式五：

　利用公式一和公式三可以得到2?-?与?的三角函数值之间的关系：

　sin(2?-?)=-sin?

　cos(2?-?)=cos?

　tan(2?-?)=-tan?

　cot(2?-?)=-cot?

　 公式六：

　?/2?及3?/2?与?的三角函数值之间的关系：

　sin(?/2+?)=cos?

　cos(?/2+?)=-sin?

　tan(?/2+?)=-cot?

　cot(?/2+?)=-tan?

　sin(?/2-?)=cos?

　cos(?/2-?)=sin?

　tan(?/2-?)=cot?

　cot(?/2-?)=tan?

　sin(3?/2+?)=-cos?

　cos(3?/2+?)=sin?

　tan(3?/2+?)=-cot?

　cot(3?/2+?)=-tan?

　sin(3?/2-?)=-cos?

　cos(3?/2-?)=-sin?

　tan(3?/2-?)=cot?

　cot(3?/2-?)=tan?

　(以上k?Z)

　注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

　 诱导公式记忆口诀

　※规律总结※

　上面这些诱导公式可以概括为：

　对于?/2*k ?(k?Z)的三角函数值，

　①当k是偶数时，得到?的同名函数值，即函数名不改变;

　②当k是奇数时，得到?相应的余函数值，即sin?cos;cos?sin;tan?cot,cot?tan.

　(奇变偶不变)

　然后在前面加上把?看成锐角时原函数值的符号。

　(符号看象限)

　例如：

　sin(2?-?)=sin(4?/2-?)，k=4为偶数，所以取sin?。

　当?是锐角时，2?-?(270?，360?)，sin(2?-?)<0，符号为“-”。

　所以sin(2?-?)=-sin?

　上述的记忆口诀是：

　奇变偶不变，符号看象限。

　公式右边的符号为把?视为锐角时，角k?360?+?(k?Z)，-?、180，360?-?

　所在象限的原三角函数值的符号可记忆

　水平诱导名不变;符号看象限。

　#

　各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正;二正弦(余割);三两切;四余弦(正割)”.

　这十二字口诀的意思就是说：

　第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;

　第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“-”;

　第三象限内切函数是“+”，弦函数是“-”;

　第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“-”.

　上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦

　#

　还有一种按照函数类型分象限定正负：

　函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

　正弦 ...........+............+............?............?........

　余弦 ...........+............?............?............+........

　正切 ...........+............?............+............?........

　余切 ...........+............?............+............?........

　同角三角函数基本关系

　同角三角函数的基本关系式

　倒数关系:

　tan cot?=1

　sin csc?=1

　cos sec?=1

　商的关系：

　sin?/cos?=tan?=sec?/csc?

　cos?/sin?=cot?=csc?/sec?

　平方关系：

　sin^2(?)+cos^2(?)=1

　1+tan^2(?)=sec^2(?)

　1+cot^2(?)=csc^2(?)

　同角三角函数关系六角形记忆法

　六角形记忆法

　构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"的正六边形为模型。

　(1)倒数关系：对角线上两个函数互为倒数;

　(2)商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。

　(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)。由此，可得商数关系式。

　(3)平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

　 两角和差公式

　 两角和与差的三角函数公式

　sin(?+?)=sin?cos?+cos?sin?

　sin(?-?)=sin?cos?-cos?sin?

　cos(?+?)=cos?cos?-sin?sin?

　cos(?-?)=cos?cos?+sin?sin?

　tan(?+?)=(tan?+tan?)/(1-tan?tan?)

　tan(?-?)=(tan?-tan?)/(1+tan?tan?)

　 二倍角公式

　 二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)

　sin2?=2sin?cos?

　cos2?=cos^2(?)-sin^2(?)=2cos^2(?)-1=1-2sin^2(?)

　tan2?=2tan?/[1-tan^2(?)]

　半角公式

　半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)

　sin^2(?/2)=(1-cos?)/2

　cos^2(?/2)=(1+cos?)/2

　tan^2(?/2)=(1-cos?)/(1+cos?)

　另也有tan(?/2)=(1-cos?)/sin?=sin?/(1+cos?)

　 万能公式

　sin?=2tan(?/2)/[1+tan^2(?/2)]

　cos?=[1-tan^2(?/2)]/[1+tan^2(?/2)]

　tan?=2tan(?/2)/[1-tan^2(?/2)]

　 万能公式推导

　附推导：

　sin2?=2sin?cos?=2sin?cos?/(cos^2(?)+sin^2(?))......*，

　(因为cos^2(?)+sin^2(?)=1)

　再把*分式上下同除cos^2(?)，可得sin2?=2tan?/(1+tan^2(?))

　然后用?/2代替?即可。

　同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

　三倍角公式

　三倍角的正弦、余弦和正切公式

　sin3?=3sin?-4sin^3(?)

　cos3?=4cos^3(?)-3cos?

　tan3?=[3tan?-tan^3(?)]/[1-3tan^2(?)]

　 三倍角公式推导

　附推导：

　tan3?=sin3?/cos3?

　=(sin2?cos?+cos2?sin?)/(cos2?cos?-sin2?sin?)

　=(2sin?cos^2(?)+cos^2(?)sin?-sin^3(?))/(cos^3(?)-cos?sin^2(?)-2sin^2(?)cos?)

　上下同除以cos^3(?)，得：

　tan3?=(3tan?-tan^3(?))/(1-3tan^2(?))

　sin3?=sin(2?+?)=sin2?cos?+cos2?sin?

　=2sin?cos^2(?)+(1-2sin^2(?))sin?

　=2sin?-2sin^3(?)+sin?-2sin^3(?)

　=3sin?-4sin^3(?)

　cos3?=cos(2?+?)=cos2?cos?-sin2?sin?

　=(2cos^2(?)-1)cos?-2cos?sin^2(?)

　=2cos^3(?)-cos?+(2cos?-2cos^3(?))

　=4cos^3(?)-3cos?

　即

　sin3?=3sin?-4sin^3(?)

　cos3?=4cos^3(?)-3cos?

　 三倍角公式联想记忆

　 ★记忆方法：谐音、联想

　正弦三倍角：3元 减 4元3角(欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”))

　余弦三倍角：4元3角 减 3元(减完之后还有“余”)

　☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

　 ★另外的记忆方法:

　正弦三倍角: 山无司令 (谐音为 三无四立) 三指的是"3倍"sin?, 无指的是减号, 四指的是"4倍", 立指的是sin?立方

　余弦三倍角: 司令无山 与上同理

　 和差化积公式

　 三角函数的和差化积公式

　sin?+sin?=2sin[(?+?)/2]?cos[(?-?)/2]

　sin?-sin?=2cos[(?+?)/2]?sin[(?-?)/2]

　cos?+cos?=2cos[(?+?)/2]?cos[(?-?)/2]

　cos?-cos?=-2sin[(?+?)/2]?sin[(?-?)/2]

　 积化和差公式

　 三角函数的积化和差公式

　sin cos?=0.5[sin(?+?)+sin(?-?)]

　cos sin?=0.5[sin(?+?)-sin(?-?)]

　cos cos?=0.5[cos(?+?)+cos(?-?)]

　sin sin?=-0.5[cos(?+?)-cos(?-?)]

　 和差化积公式推导

　附推导：

　首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

　我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

　所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

　所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

　所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

　这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

　sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

　好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

　我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

　把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

　sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

　sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

　cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

　cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

．函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是.

2．函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] .

3．函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是.

4．函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .

5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝.

6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝.

7．若cosx＝－, x∈(, π)，则x＝.

8．若sinx＝－, x∈(－, 0)，则x＝.

9．若3ctgx＋1＝0, x∈(0, π)，则x＝.

二．基本要求：

1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；

2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsinx, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccosx, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；

3．符号arcsinx可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；

4．y＝arcsinx等价于siny＝x, y∈[－，], y＝arccosx等价于cosy＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；

5．注意恒等式sin(arcsinx)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccosx)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sinx)＝x, x∈[－，], arccos(cosx)＝x, x∈[0, π]的运用的条件；

6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；

7．注意恒等式arcsinx＋arccosx＝, arctgx＋arcctgx＝的应用。

例一．下列各式中成立的是（C）。

（A）arcctg(－1)＝－ （B）arccos(－)＝－

（C）sin[arcsin(－)]＝－ （D）arctg(tgπ)＝π

解：(A)(B)中都是值域出现了问题，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π],

(D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。

例二．下列函数中，存在反函数的是（D）。

（A）y＝sinx, x∈[－π, 0] （B）y＝sinx, x∈[, ]

（C）y＝sinx, x∈[,] （D）y＝sinx, x∈[,]

解：本题是判断函数y＝sinx在哪个区间上是单调函数，由于y＝sinx在区间[,]上是单调递减函数， 所以选D。

例三． arcsin(sin10)等于（C）。

（A）2π－10 （B）10－2π （C）3π－10 （D）10－3π

解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相等，且该角度在[－, ]上。

由于sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10, 且3π－10∈[－, ], 所以选C。

例四．求出下列函数的反函数，并求其定义域和值域。

（1）f (x)＝2sin2x, x∈[, ];（2）f (x)＝＋arccos2x.

解：(1) x∈[, ], 2x∈[, ], 2x－π∈[－, ], －2≤y≤2

由y＝2sin2x, 得sin2x＝, sin(2x－π)＝－sin2x＝－, ∴ 2x－π＝arcsin(－),

∴ x＝－arcsin, ∴ f －1(x)＝－arcsin, －2≤x≤2, y∈[, ].

(2) f (x)＝＋arccos2x, x∈[－, ], y∈[,],

∴ arccos2x＝y－, 2x＝cos(y－), x＝cos(y－)＝siny,

∴f －1(x)＝sinx , x∈[,], y∈[－, ].

例五．求下列函数的定义域和值域：

(1) y＝arccos; (2) y＝arcsin(－x2＋x); (3) y＝arcctg(2x－1),

解：(1) y＝arccos, 0<≤1, ∴ x≥1, y∈[0, ).

(2) y＝arcsin(－x2＋x), －1≤－x2＋x≤1, ∴ ≤x≤,

由于－x2＋1＝－(x－)2＋, ∴ －1≤－x2＋x≤, ∴ －≤y≤arcsin.

(3) y＝arcctg(2x－1), 由于2x－1>－1, ∴ 0< arcctg(2x－1)<, ∴ x∈R, y∈(0, ).

例六．求下列函数的值域：

(1) y＝arccos(sinx), x∈(－, ); (2) y＝arcsinx＋arctgx.

解：(1) ∵x∈(－, ), ∴ sinx∈(－, 1], ∴ y∈[0, ).

(2) ∵y＝arcsinx＋arctgx., x∈[－1, 1], 且arcsinx与arctgx都是增函数,

∴ －≤arcsinx≤, －≤arctgx≤, ∴ y∈[－,].

例七．判断下列函数的奇偶性：

(1) f (x)＝xarcsin(sinx); (2) f (x)＝－arcctgx.

解：(1) f (x)的定义域是R， f (－x)＝(－x)arcsin[sin(－x)]＝xarcsin(sinx)＝f (x),

∴ f (x)是偶函数;

(2) f (x)的定义域是R,

f (－x)＝－arcctg(－x)＝－(π－arcctgx)＝arcctgx－＝－f (－x),

∴ f (x)是奇函数.

例八．作函数y＝arcsin(sinx), x∈[－π, π]的图象.

解：y＝arcsin(sinx), x∈[－π, π], 得, 图象略。

例九．比较arcsin, arctg, arccos(－)的大小。

解：arcsin<, arctg<, arccos(－)>, ∴arccos(－)最大,

设arcsin＝α，sinα＝, 设arctg＝β, tgβ＝, ∴ sinβ＝<sinα, ∴ β<α,

∴ arctg< arcsin< arccos(－).

例十．解不等式：(1) arcsinx<arccosx; (2) 3arcsinx－arccosx>.

解：(1) x∈[－1, 1], 当x＝时, arcsinx＝arccosx, 又arcsinx是增函数,arccosx是减函数，

∴ 当x∈[－1, )时, arcsinx<arccosx.

(2) ∵ arccosx＝－arcsinx, ∴ 原式化简得4arcsinx>, ∴ arcsinx>＝arcsin,

∵ arcsinx是增函数, ∴ <x≤1.

三．基本技能训练题：

1．下列关系式总成立的是（B）。

（A）π－arccosx>0 （B）π－arcctgx>0 （C）arcsinx－≥0 （D）arctgx－>0

2．定义在(－∞, ∞)上的减函数是（D）。

（A）y＝arcsinx （B）y＝arccosx （C）y＝arctgx （D）y＝arcctgx

3．不等式arcsinx>－的解集是. 4．不等式arccosx>的解集是.

四．试题精选：

(一) 选择题：

1．cos(arccos)的值是（D）。

（A） （B） （C）cos （D）不存在

2．已知arcsinx>1，那么x的范围是（C）。

（A）sin1<x< （B）sinx<x≤ （C）sin1<x≤1 （D）

3．已知y＝arcsinx·arctg|x| (－1≤x≤1)， 那么这个函数（A）。

（A）是奇函数 （B）是偶函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数

4．若a＝arcsin(－), b＝arcctg(－), c＝arccos(－)，则a, b, c的大小关系是（B）。

（A）a<b<c （B）a<c<b （C）c<a<b （D）c<b<a

5．已知tgx＝－, x∈(, π)，则x＝（C）。

（A）＋arctg(－)（B）π－arctg(－)（C）π＋arctg(－)（D）

6．函数f (x)＝2arccos(x－2)的反函数是（D）。

（A）y＝(cosx－2) (0≤x≤π) （B）y＝ cos(x－2) (0≤x≤2π)

（C）y＝ cos(＋2) (0≤x≤π) （D）y＝ cos＋2 (0≤x≤2π)

7．若arccosx≥1，则x的取值范围是（D）。

（A）[－1, 1] （B）[－1, 0] （C）[0, 1] （D）[－1, arccos1]

8．函数y＝arccos(sinx) (－<x<)的值域是（B）。

（A）(, ) （B）[0, ] （C）(, ) （D）[,]

9．已知x∈[－1, 0]，则下列等式成立的是（B）。

（A）arcsin＝arccosx （B）arcsin＝π－arccosx

（C）arccos＝arcsinx （D）arccos＝π－arcsinx

10．直线2x＋y＋3＝0的倾斜角等于（C）。

（A）arctg2 （B）arctg(－2) （C）π－arctg2 （D）π－arctg(－2)

(二) 填空题：

11．若cosα＝－ (<α<π)，则α＝. (用反余弦表示)

12．函数y＝(arcsinx)2＋2arcsinx－1的最小值是 －2 .

13．函数y＝2sin2x (x∈[－, ])的反函数是.

14．函数y＝arcsin的定义域是 x≤1或x≥3 ，值域是

15．用反正切表示直线ax－y＋a＝0 (a≠0)的倾斜角为α＝

(三) 解答题：

16．求下列函数的反函数：

(1) y＝3cos2x, x∈[－, 0]; (2) y＝π＋arccosx2 (0<x≤1).

解：(1) x∈[－, 0], ∴ 2x∈[－π, 0], 函数y＝3cos2x在定义域内是单值函数.

且－3≤y≤3. ∴ π＋2x∈[0, π], y＝3cos2x＝－3cos(π＋2x), cos(π＋2x)＝－,

∴ π＋2x＝arccos, ∴x＝arccos－,

∴y＝3cos2x, x∈[－, 0]的反函数是y＝arccos－, －3≤x≤3.

(2) ∵0<x≤1, π≤y<, ∴ arccosx2＝y－π, x2＝cos(y－π), x＝,

∴ 原函数的反函数是y＝, π≤x<.

17．求函数y＝(arccosx)2－3arccosx的最值及相应的x的值。

解：函数y＝(arccosx)2－3arccosx, x∈[－1, 1], arccosx∈[0, π]

设arccosx＝t, 0≤t≤π, ∴ y＝t2－3t＝(t－)2－,

∴ 当t＝时,即x＝cos时, 函数取得最小值－，

当t＝π时,即x＝－1时，函数取得最大值π2－3π.

18．若f (arccosx)＝x2＋4x, 求f (x)的最值及相应的x的值。

解：设arccosx＝t, t∈[0, π], x＝cost, 代入得f (t)＝cos2t＋4cost,

∴ f (x)＝cos2x＋4cosx, x∈[0, π], cosx∈[－1, 1], f (x)＝(cosx＋2)2－4,

∴ 当cosx＝－1时,即x＝π时，函数取得最小值－3.

当cosx＝1时,即x＝0时，函数取得最大值5.

19．(1)求函数y＝arccos(x2－2x)的单调递减区间; (2)求函数arctg(x2－2x)的单调递增区间。

解：(1) 函数y＝arccosu, u∈[－1, 1]是减函数，

∴ －1≤x2－2x≤1,1－≤x≤1＋, 又x2－2x＝(x－1)2＋1,

∴ 1≤x≤1＋时, u＝x2－2x为增函数，根据复合函数的概念知此时原函数为减函数。

(2) 函数y＝arctgu增函数, u∈R, 又x2－2x＝(x－1)2＋1,

∴ 当x≥1时，原函数是增函数。

20．在曲线y＝5sin(arccos)上求一个点，使它到直线x＋y－10＝0的距离最远，并求出这个最远距离

解：设arccos＝α, －3≤x≤3, cosα＝,

y＝5sinα＝5,

三角函数的性质和图象

[重点]：复合三角函数的性质和图象

[难点]：复合三角函数的图象变换

[例题讲解]

例1．求函数的定义域：f(x)=

解：

(1): 2kπ≤x≤(2k+1)π (k∈Z)

(2): -4<x<4

定义域为 。

注意：sinx中的自变量x的单位是“弧度”，x∈R。

例2．求y=cos( -2x)的递增区间。

分析（1）：该函数是y=cosu，u= -2x的复合函数，

∵ u= -2x为减函数，要求y=cos( -2x)的递增区间，只须求y=cosu的递减区间。

方法（1）：∵ y=cosu的递减区间为2kπ≤u≤π+2kπ (k∈Z)

∴ 令2kπ≤ -2x≤π+2kπ，- -kπ≤x≤ -kπ (k∈Z)

∵ -k与k等效，∴ 递增区间为[- +kπ, +kπ] (k∈Z)。

分析（2）：∵ cosu为偶函数，∴ y=cos(2x- )

设y=cost，t=2x- ，

∵ t=2x- 为增函数，要求y=cos(2x- )的递增区间，只须求y=cost的递增区间。

方法（2）：∵ y=cost的递增区间为π+2kπ≤t≤2π+2kπ (k∈Z)

∴ 令π+2kπ≤2x- ≤2π+2kπ， +kπ≤x≤ +kπ (k∈Z)

∴ 递增区间为 +kπ≤x≤ +kπ (k∈Z)。

注意：两种方法求得的结果表面上看不相同，但是从图上看两种形式所表示的范围完全相同。

例3．求函数y=sin2x+sinx·sin(x+ )的周期和值域。

分析：求函数的周期、值域、单调区间等，对于三角函数式常用的方法是转化为一个角的一个三角函数式。

解：y=

=

=

=

∴ T= =π，值域为[ ]。

例4．求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值。

分析：sinx+cosx与sinxcosx有相互转化的关系，若将sinx+cosx看成为整体，设为新的元，函数式可转化为新元的函数式，注意新元的取值范围。

解：设sinx+cosx=t，t∈[- , ]。

则(sinx+cosx)2=t2，即1+2sinxcosx=t2，sinxcosx= ，

y=t+ = (t2+2t)- = (t+1)2-1，

当t= 时，ymax= + 。

例5．判断下列函数的奇偶性

（1）y=sin(x+ )- cos(x+ )

（2）y=

分析：定义域为R，关于原点对称，经过等值变形尽量转化为一个角的一个三角函数式，再判断其奇偶性。

解：（1）y=2[ sin(x+ )- cos(x+ )]

=2sin[(x+ )- ]

=2sinx

∴ 函数为奇函数。

（2）∵ 从分母可以得出定义域x≠π+2kπ且 (k∈Z)，在直角坐标系中定义域关于原点不对称。

∴ 函数为非奇非偶函数。

例6．写出下列函数图象的解析式

（1）将函数y=sinx的图象上所有点向左平移 个单位，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得到所求函数的图象。

（2）将函数y=cosx的图象上所有点横坐标缩为原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移 个单位，得到所求函数的图象。

（1）分析：按图象变换的顺序，自变量x的改变量依次是：+ ； 倍。

图象的解析式依次为：y=sinx→y=sin(x+ )→y=sin( )。

解：所求函数图象的解析式为y=sin( ),也可以写为：y=sin (x+ ).

（2）分析：按图象变换的顺序，自变量x的改变量依次是：2倍；+ 。

图象的解析式依次为：y=cosx→y=cos2x→y=cos2(x+ )。

解：所求函数图象的解析式为y=cos2(x+ )，也可以写为：y=cos(2x+ )。

例7．已知函数y=sin(3x+ )

（1）判断函数的奇偶性；

（2）判断函数的对称性。

分析：函数的奇偶性与函数的对称性既有联系又有区别，用定义法，换元法。

解：（1）定义域为R，设f(x)=sin(3x+ )

f(-x)=sin[3(-x)+ ]=-sin(3x- )

∵ sin[3(-x)+ ]≠sin(3x+ )

sin[3(-x)+ ]≠-sin(3x+ )

∴ 函数y=sin(3x+ )不是奇函数也不是偶函数。

（2）函数y=sin(3x+ )的图象是轴对称图形，对称轴方程是3x+ =kπ+ 。

即x= (k∈Z)

函数y=sin(3x+ )的图象也是中心对称图形，∵ y=sinu图象的对称中心的坐标是(kπ,0)。

令3x+ =kπ，x= (k∈Z)。

∴ y=sin(3x+ )图象的对称中心的坐标是( ,0) (k∈Z)。

测试

选择题

1．y= 的定义域是（以下k∈Z）（ ）

(A)[2k ] (B)[2k ]

(C)[2k ] (D)(-∞,+∞)

2．f(x)= cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数，则θ=（ ）(以下k∈Z)

(A)kπ (B)kπ+ (C)kπ- (D)kπ+

3．在[ ]上与函数y=cos(x-π)的图象相同的函数是（ ）

(A)y= (B)y= (C)y=cos(x- ) (D)y=cos(-x-4π)

4．把函数y=sin(2x- )的图象向右平移 个单位，所得图像对应的函数是（ ）

(A)非奇非偶函数 (B)既是奇函数，又是偶函数

(C)奇函数 (D)偶函数

5．将函数y=sin( )的图象作如下的变换便得到函数y=sin x的图象（ ）

(A)向右平移 (B)向左平移 (C)向右平移 (D)向左平移

6．函数f(x)=sin(ωx+θ)·cos(ωx+θ) (ω>0)以2为最小正周期，且能在x=2时取得最大值，则θ的一个值是（ ）

(A)- π (B)- π (C) π (D)

7．ω是正实数，函数 在 上递增，那么（ ）

(A) (B) (C) (D)

8．y=cos( +2x)sin( -2x)的单调递增区间是（以下k∈Z）（ ）

(A)[ ] (B)[ ]

(C)[ ] (D)[ ]

9．函数y=3sin(x+ 的最大值为（ ）

(A)4 (B) (C)7 (D)8

10．当x∈( )时，f(x)=|sin(3kx+ )|有一个完整的周期，则k能取的最小正整数值是（ ）

(A)12 (B)13 (C)25 (D)26

答案与解析

答案：1、D 2、C 3、A 4、D 5、C 6、A 7、A 8、A 9、D 10、B

解析：

1．对于x∈R，-1≤sinx≤1，cos(sinx)>0恒成立，所以x∈R。

2．整理得到f(x)=2sin(+θ-3x)，则根据f(0)=0代入选项验证即可。

注：奇函数的一个性质：如果奇函数f(x)的定义域中有0，则f(0)=0（反之不一定成立）。

3．首先整理，y=cos(x-π)=-cosx，

y= =|cosx|=-cosx (∵x∈[]，cosx<0)

y= (x= 时无意义，显然不是答案)

y=cos(x- π)=-sinx，

y=cos(-x-4π)=cosx。

4．y=sin(2x- ) y=sin(2(x- )- )=-cos2x。

注：对于函数图象平移，掌握左加右减（向左平移时x加一个数，向右平移时x减一个数）的法则，还需注意，只是改变(x)。

5．y=sin x=sin[ (x- )+ ]， y=sin( x+ )→y=sin[ (x- )+ ]

即x变成x- ，所以是向右平移 个单位。

6．整理得f(x)= sin(2ωx+2θ)，由T= =2，ω= ，且x=2时，f(x)取最大值，代入选项验证即可。

7．令ωx=t，因为f(x)=2sint在[- ， ]上是增函数，

所以- ≤t≤ ，即- ≤ωx≤ ，- ≤x≤ ，

根据已知f(x)在[- ， ]上递增，所以 ，解出0<ω≤ 。

8．化简出y= - sin4x=- sin4x+ ，原题即求sin4x的递减区间，

2kπ+ ≤4x≤2kπ+ π ≤x≤ π。

9．注意到 ，化简原式y=8cos(x- )。

10．函数f(x)的周期T= ，根据题意T ，即 ，解出k≥4π。

注：函数f(x)=|sinωx|的周期是T= 。

含参数的三角函数问题

有关含参数的问题，因为能很好的考察分类讨论的数学思想和比较深刻地考察数学能力，在前几年的高考中一度成为热门。但是因为难度较大，近两年有所降温。含参数问题较多的出现在不等式和函数的有关问题中，在三角函数中也时有涉及。但因为三角函数在高考中多以低档题和中档题出现，本部分内容较难。

所谓的含参数，就是与变量有关。因此处理这类问题要有变量的思想，就是要把参数看作是一个运动的、一个变化的量。这个参数变化为不同的值时，可能对解题过程产生不同的影响，这就需要分类讨论。下面几个例题都是参变量与三角函数的图象与性质相结合的问题。

例1．若对于一切实数x，cos2x=acos2x+bcosx+c恒成立，那么a2+b2+c2=_______。

分析：当变量x变化时，cosx的值也在变化，但这个变化不能影响整个式子的值。

解：原式整理成：(a-2)cos2x+bcosx+c+1=0，即不论x取何值，这个式子恒成立，

则必须a-2=0，b=0，c+1=0同时成立，解出a=2，b=0，c=-1，所以a2+b2+c2=5。

注：要使acosx不受x值变化的影响，只能a=0。

例2．已知α,β∈[- ， ]，sinα=1-a, sinβ=1-a2, 又α+β<0, 求a的取值范围。

分析：要求变量a的取值范围，则必须根据已知条件找到一个含有a的不等式，同时注意本题中正弦函数的有界性。

解：因为α+β<0，则α<-β，同时α,-β∈[- ， ],

根据y=sinx在[- ， ]上是增函数，得到sinα<sin(-β)=-sinβ，

所以有 ，解出1<a≤ 。

注：本题主要考察三角函数的值域和灵活应用单调性。

例3．函数y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=- 对称，那么a的值是多少？

分析：函数f(x)的图象关于直线x=a对称，则有f(a+x)=f(a-x)

解：令f(x)=sin2x+acos2x，根据题意对于任意的x，f(- +x)=f(- -x)恒成立，

即sin(- +2x)+a·cos(- +2x)=sin(- -2x)+a·cos(- -2x)

sin(- +2x)+sin( +2x)=a[cos( +2x)-cos(- +2x)]

(1+a)sin2x=0

要使上式恒成立（不受x取值影响），必须1+a=0，即a=-1。

注：1、是不是有和例1类似的地方？

2、对于选择题，完全可以取关于x=- 对称的两个点代入验证，比如 。

例4．已知方程2sin2x-cos2x+2sinx+m=0有解，求实数m的取值范围。

分析：把变量m单独放在一边，考察另一边的取值范围。

解：由原式得到m=-3sin2x-2sinx+1，

令y=-3sin2x-2sinx+1，则y有最大最小值，只要m在这个范围内，原方程就有解，

再令t=sinx，则-1≤t≤1,求y=-3t2-2t+1的值域。根据二次函数的图象-4≤y≤ ，

即-4≤m≤ 时，原方程有解。

注：把变量分离，单独放在一边也是处理变量的一个技巧。下面例5也用到了。

例5．已知0≤θ≤ ，求使cos2θ+2msinθ-2m-2<0成立的实数m的取值范围。

解：原式即2m(sinθ-1)<1+sin2θ

当sinθ-1=0，即θ= 时，不论m取何值，原式成立，即m∈R.

当sinθ-1≠0，即θ≠ 时，原式即2m> (sinθ-1<0)

令y= ，则y是一个变量，要使2m>y成立，只要2m>y的最大值即可。

下面求y的最大值(0≤sinθ<1 0<1-sinθ≤1)

y=

=sinθ+

=sinθ+1+

=-[(1-sinθ)+ ]+2

∵ (1-sinθ)+ 在1-sinθ=1即θ=0时，取最小值3，

∴ y最大值=-1，2m>-1，m>- ，

所以当θ= 时，m取任意实数，原式都成立，

当0≤θ< 时，m>- 原式都成立。

注意：1、本题是一个综合题，属于较难的题目，考察的知识较多，但要体会变量的思想。

2、求函数y=x+ (a>0)的最值，可根据图像观察在(0,+∞)的图象，如图（是奇函数）。

总结：在例1，3，4，5中都体现了变量的思想，注意体会。例5比较深刻地考察了分类讨论的思想。另外，含参数问题往往和取值范围联系在一起，也就注定了要与不等式联系在一起。

高考精题

1．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间 上为减函数的是（ ）。

A、y=cos2x B、y=2|sinx| C、 D、y=-cotx

解：y=cos2x, ，周期是π，在区间 上是增函数，

y=2|sinx|，周期是π，在区间 上是减函数，

，至少可以判断，在区间 上不是减函数，

y=-cotx，在区间 上是增函数，∴应选B。

2．函数y=x+sin|x|, x∈[-π,π]的大致图象是（ ）。

解：由函数的奇偶性（非奇非偶）及特殊点的坐标先删去A、B、D。∴ 应选C。

3．设函数f(x)=sin2x,若f(x+t)是偶函数，则t的一个可能值是___。

解：画出f(x)=sin2x的草图，不难看出将图像向左水平移 ，就可得到关于y轴对称的图像，

∴ 应填 。

4. 函数y=-xcosx的部分图像是（ ）。

解：∵ f(x)=-xcosx，∴ f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcosx=-f(x),

那么f(x)是奇函数(x∈R)，可在B、D中选，

又∵ 设图像上一点 ，在x轴下方，

∴ 应选D。

5．已知函数f(x)=x2+2x·tanθ-1， ，其中 。

（1）当 时，求函数f(x)的最大值与最小值；

（2）求θ的取值范围，使y=f(x)在区间 上是单调函数。

解：（1）当 时， ，

∴ 时，f(x)的最小值为 ，

x=-1时，f(x)的最大值为 。

（2）函数f(x)=(x+tanθ)2-1-tan2θ图像的对称轴为x=-tanθ，

∵ y=f(x)在区间[-1, ]上是单调函数，

∴ -tanθ≤-1或 ，

即tanθ≥1或tanθ≤ ,

因此，θ的取值范围是 。

评注：本题是二次函数与三角函数基本知识的综合题，问题（1）解中，得到二次函数的解析式后，要注意区间端点处的函数值与该函数的最值的正确比较，加以取舍。

第（2）问中，依题设f(x)在区间 上是单调函数，要分类考虑，若是单调递增，则-tanθ≤-1，若是单调递减，则 ，这一步是解题的关键，也是难点。

6．已知函数 x∈R。

（I）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（II）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：（I）

y取得最大值必须且只需

即 k∈Z。

所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为 .

（II）将函数y=sinx依次进行如下变换：

(i)把函数y=sinx的图像向左平移 ，得到函数 的图像；

(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图像；

(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变），得到函数 的图像；

(IV)把得到的图像向上平移 个单位长度，得到函数 的图像；

综上得到函数 的图像。