高考求法向量,高等数学求法向量

1.什么是法向量

2.怎么用向量外积求法向量 高中

3.法向量的应用范围

4.高考立体几何用向量法解题的步骤

5.求助高考数学题

6.知道一个空间向量怎么求它的法向量,请举例说明,

7.高考用向量发证明平行,垂直等,必要的过程是什么?直接写出向量行吗?

1、向量的加法：

AB+BC=AC

设a=（x,y） b=(x',y')

则a+b=(x+x',y+y')

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量加法的性质：

交换律：

a+b=b+a

结合律：

(a+b)+c=a+(b+c)

a+0=0+a=a

2、向量的减法

AB-AC=CB

a-b=(x-x',y-y')

若a//b

则a=eb

则xy`-x`y=0·

若a垂直b

则a·b=0

则xx`+yy`=0

3、向量的乘法

设a=（x,y） b=(x',y')

用坐标计算向量的内积：a·b(点积）=x·x'+y·y'

a·b=|a|·|b|*cosθ

a·b=b·a

(a+b)·c=a·c+b·c

a·a=|a|的平方

向量的夹角记为<a,b>∈[0,π]

Ax+By+C=0的方向向量a=(-B,A)

(a·b)·c≠a·(b·c)

a·b=a·c不可推出b=c

设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)

x=(x1+λx2)/(1+λ)

则有

y=(y1+λy2)/(1+λ)

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣,当λ＞0时，与a同方向；当λ＜0时，与a反方向。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量的几何意义时把向量a沿着的方向或反方向放大或缩小。

什么是法向量

希望你高考顺利，我帮你来记吧。我尽可能说详细点。不懂可追问。

先说三阶行列的值怎么记！

你将一个三阶行列式的第一和第二列再抄一遍。

那么该行列式的值就等于三条红线的元素的乘积的和

减去三条蓝线的元素的乘积。

接下来说下，(a,b,c)和(d,e,f)的向量积（叉乘）确实为行列式

接下来说下法向量怎么快速计算。

例如求（1,2,3),(4,5,6)的向量积（叉乘），为行列式

将第一列，第二列再抄一遍，有

注意到i所在的红线，和蓝线。不难发现i的系数为2*6-3*5=-3

类似的可以很快的求出j，和k的系数

也就求出了他们的向量积为(-3,6,-3)

最后，希望你放轻松，积极应考，考出好成绩。

怎么用向量外积求法向量 高中

所谓的法向量即为垂直于平面的一个向量。（即以任意平面内都存在无数条法向量。）

法向量与其长度无关但其模不能为0。

1、直与平面所成的角：可用斜线所在向量与平面的法向量的夹角的余弦的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值

2、二面角求解出两个平面的法向量则两法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补此时应观察二面角的平面角为锐角还是顿角

3、点到面的距离： 为过此点的斜线所在向量与平面的单位法向量的数量积的绝对值与法向量模的比值

如点B到平面α的距离d=|CD·n|/|n|(等式右边全为向量)

其中，向量n为平面α的法向量，A∈α,AB是α的一条斜线段

法向量的应用范围

已知一个矢量a=(Ax,Ay,Az),矢量b=(Bx,By,Bz),记矢量a为v(a)以方便表达，向量上的“→”打不出来

v(a)xv(b)

=(Ax,Ay,Az)X(Bx,By,Bz)

=

=V(i)*(Ay*Bz-By*Az)-V(j)*(Ax*Bz-Az*Bx)+V(k)*(Ax*By-Ay*Bx)

高考立体几何用向量法解题的步骤

法向量的主要应用如下：

1、求斜线与平面所成的角（一般只求出正弦值即可）：求出平面法向量和斜线的一边，然后联立方程组，可以得到角度的余弦值，根据公式Sinα=|Cosα|。利用这个原理也可以证明线面平行；

2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角，这个角与二面角相等或互补；

3、点到面的距离： 任一斜线(平面上一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量，D为平面内任意一点，向量n为平面α的法向量)。利用这个原理也可以求异面直线的距离

法向量方法是高考数学可以采用的方法之一，它的优点在于思路简单，容易操作。只要能够建立出直角坐标系，都可以写出最后答案。缺点在于同一般立体几何方法相比，其计算量巨大，特别是在计算二面角的时候。

求助高考数学题

通常这种情况是在求二面角时使用，特别在二面角不容易画出来时，这时利用两个面的法向量的夹角可以求出二面角的大小，从已知面的两个向量（不共线）与法向量垂直可得到两个方程给法向量一个坐标赋值得到法向量..

知道一个空间向量怎么求它的法向量,请举例说明,

思路：四个点可以用三条线连接起来,设这三个向量分别为A,B,C 只要向量C能表示成C=mA+ nB 的形式就可以证明四点共面了.

因为PD⊥地面ABCD，且ABCD是一个正方形。因此，以0为圆点，DC为X轴，DA为Y轴，DP为Z轴，建立直角坐标系

即可设面ABC的法向量为n n=(x,y,z)?以得到B(4,4,0),E(2,0,1.5),G(0,0,1),F(0,2,0)

向量GF=(0,2,-1)，计算方法对应坐标相减

向量GE=(2,0,0.5)

向量GB=(4,4,-1)

假设B、E、G、F共面，即向量GB= m向量GF+n向量GE

4=m*0+n*2

4=m*2+n*0

可以得到m=2,n=2

代入最后一个

m*(-1)+n*0.5=2*（-1）+2*0.5=-1满足，因此B、E、G、F共面

2.面与面的夹角，是等于面的法向量的夹角

可以得到面PBD的法向量即为向量AC=（2，-2,0），因为AC垂直面PBD，可以简单证明一下

因为ABCD是正方形，那么AC⊥BD，又因为PD⊥地面ABCD，得到PD⊥AC，即可得到AC⊥面PBD

设BEGF的法向量为t ,t=（1,y,z）

t*向量GF=0，1*0+y*2-z=0

t*向量GE=0，1*2+y*0+z*0.5=0

t*向量GB=0，1*4+y*4-z*1=0

计算得到x=1,y=-2,z=-4

t=（1，-2，-4）

余弦值=向量t*向量AC/(|向量t|*|向量AC|)=(2*1+(-2)*(-2)+0*(-4))/（根号（2*2+（-2）*（-2））*根号（1+4+16））=6/（根号（8）*根号（21））

自己化解了。

高考用向量发证明平行,垂直等,必要的过程是什么?直接写出向量行吗?

不好意思没能传上去,你可以点下面这个网址下载这个word文件自己看吧

adamljw.blogbus/files/1165078499.doc

法向量在立体几何中的应用

向量在数学和物理学中的应用很广泛,在解析几何与立体几何里的应用更为直接,用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题.将向量引入中学数学后,既丰富了中学数学内容,拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法——向量法.下面就向量中的一种特殊向量——法向量,结合近几年的高考题,谈谈其在立体几何有关问题中的应用.

1 法向量的定义

1.1 定义1 如果一个非零向量 与平面 垂直,则称向量 为平面 的法向量.

1.2 定义2 任意一个三元一次方程： ,

都表示空间直角坐标系内的一个平面,其中 为其一个法向量.

事实上,设点 是平面 上的一个定点, 是平面 的法向量,设点 是平面 上任一点,则总有 .

∴ , 故 ,

即 ,

∴ ,……①

设 ,

则 ① 式可化为 ,即为点P的轨迹方程.

从而,任意一个三元一次方程： ,

都表示一个平面的方程,其法向量为 .

2 法向量在立体几何中的应用

2.1 利用法向量可处理线面角问题

设 为直线 与平面 所成的角, 为直线 的方向向量 与平面 的法向量 之

间的夹角,则有 （图1）或 （图2）

图1 图2

特别地 时, , ； 时, , 或

例1（2003年, 新课程 、江苏 、辽宁卷高考题）

如图3,在直三棱柱 中,底面是等腰直角三角形, ,侧棱 ,D,E分别是 与 的中点,点E在平面ABD

上的射影是 的重心G.求 与平面ABD所成角的大小.

（结果用反三角函数表示）

解 以C为坐标原点,CA所在直线为 轴,CB所在直线为

轴, 所在直线为 轴,建立直角坐标系,

设 , 图3

则 , , ,

∴ , , , ,

∵ 点E在平面ABD上的射影是 的重心G,

∴ 平面ABD, ∴ ,解得 .

∴ , ,

∵ 平面ABD, ∴ 为平面ABD的一个法向量.

由

得 ,

∴ 与平面ABD所成的角为 ,即 .

评析 因规定直线与平面所成角 ,两向量所成角 ,所以用此法向量求出的线面角应满足 .

2.2 利用法向量可处理二面角问题

设 分别为平面 的法向量,二面角 的大小为 ,向量

的夹角为 ,则有 （图4）或 （图5）

图4 图5

例2 （2003年,北京卷高考题）

如图6,正三棱柱 的底面边长为3,侧棱 ,

D是CB延长线上一点,且 .

求二面角 的大小.（略去了该题的①,③问）

解 取BC的中点O,连AO.

由题意 平面 平面 , ,

∴ 平面 ,

以O为原点,建立如图6所示空间直角坐标系, 图6

则 , , , ,

∴ , , ,

由题意 平面ABD, ∴ 为平面ABD的法向量.

设 平面 的法向量为 ,

则 , ∴ , ∴ ,

即 . ∴ 不妨设 ,

由 ,

得 . 故所求二面角 的大小为 .

评析　（1）用法向量的方法处理二面角的问题时,将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”,这表面似乎谈化了学生的空间想象能力,但实质不然,向量法对学生的空间想象能力要求更高,也更加注重对学生创新能力的培养,体现了教育改革的精神.

（2）此法在处理二面角问题时,可能会遇到二面角的具体大小问题,如本题中若取 时,会算得 ,从而所求二面角为 ,但依题意只为 .因为二面角的大小有时为锐角、直角,有时也为钝角.所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小,然后根据计算取“相等角”或取“补角”.

例3（2002年,上海春季高考题）

如图7,三棱柱 ,平面 平面 ,

, ,且 ,

求二面角 的大小.（略去了该题的②问） 图7

解 以O点为原点,分别以OA,OB所在直线为 轴, 轴,过O点且与平面AOB垂直的直线为 轴,建立直角坐标系（如图7所示）,

则 , , , ,

∵ 平面AOB, ∴ 不妨设平面AOB的法向量为 ,

设 平面 在此坐标系内的方程为： ,

由点A,B, 均在此平面内,得

解得 , , ,

∴ 平面 的方程为： ,

从而平面 的法向量为 ,

∴ , ∴ ,

即 二面角 的大小为 ,

评析 在求平面的法向量时,也可用此法先求得在空间直角坐标系中该平面的方程,从而直接得到其法向量.

2.3 可利用法向量处理点面距离问题

设 为平面 的法向量,A,B分别为平面 内,外的点,则点B到平面 的距离 （如图8）.

略证：

图8

例4 （2003年,全国高考题）

如图9,已知正四棱柱 ,点E为 中点,

点F为 中点.求点 到平面BDE的距离.（略去了该题的①问）

解 以D为原点,建立如图9所示的直角坐标系,

则 , , , ,

∴ , , ,

设 平面BDE的法向量为 ,

则 , , 图9

∴ , ∴ , 即 ,

∴ 不妨设 ,则点 到平面BDE的距离为

, 即为所求.

例5 （2003年,北京春季高考题）

如图10,正四棱柱 中,底面边长为 ,侧棱长为4,

E,F分别为棱AB,CD的中点, .

求三棱锥 的体积V.（略去了该题的①②问）

解 以D为坐标原点,建立如图10所示的直角坐标系,

则 , ,

, ,

∴ , ,

, 图10

∴ ,

∴ ,

所以 ,

设 平面 的方程为： ,将点 代入得

, ∴ ,

∴ 平面 的方程为： ,其法向量为

, ∴点 到平面 的距离 ,

∴ 即为所求.

评析 （1）在求点到平面的距离时,有时也可直接利用点到平面的距离公式　 计算得到.

（2） 法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外,还能处理异面直线间的距离,线面间的距离,以及平行平面间的距离等.

法向量作为向量家族中的一个特殊成员,在立体几何的问题解决中越来越显示出它的优越性和灵活性,也越来越广泛地被广大师生所青睐和重视.

你好，请问你指的直接写出向量是什么意思？

一般向量发，我们要么是直接利用公式

假设a=(x1,y1),b=(x2,y2)

1）

向量a与b向量平行，我们需要写：a=kb，其中k为常数，或者

x1=kx2，y1=ky2

上面两个都可以，这个看具体题目给我们的是有没有坐标的信息了

2）

向量a和向量b垂直，我们需要写出：a*b=0或者

x1*x2+y1*y2=0

上面两个也是都可以，关键看题目给出的条件了

补充：

不需要把条件举出来的。但是如果是大题，要是结果错了，但是举出来，可能还会有点步骤分，如果你确定结果都是对的，其实是没关系的哦

对于大题目中的有关向量的计算其实有两种方法：

1)直接利用向量的关系，这个是针对那些不是很好建立直角坐标系的题目；

2）利用向量的坐标关系来计算，这种题目是针对那些有一个垂直的三个角的，我们需要建立直角坐标系来计算

两种方法的特点：

一般利用坐标的题目都是可以求出来的，只有有时候会比较繁琐点，但是一定会做出来的；利用向量关系的题目有时想到了向量之间的关系，有时候做起来是比较简单的，但是就是这个想的过程会比较难想到，有时想到了也就会做了

联想：这个和立体几何中的直接求法和向量坐标求法有点类似的哦